标准正交向量

　　有一堆向量，

　　一个向量没法和自己正交，在i = j时，让

　　向量的转置乘以自身等于1，意味着这个向量是单位向量，所以我们称这堆向量

标准正交矩阵

　　现在把这些标准正交向量放入矩阵中：

　　下面的Q就是一个正交矩阵：

　　可以将Q的三个列看作直角坐标系的三个轴，它们两两垂直。

　　再举个例子：

　　一个方阵的列是正交的并不意味着方阵是正交矩阵，比如下面这个：

　　虽然这个矩阵不是正交矩阵，

　　这样就变成正交矩阵了。类似的还有下面这个：

正交矩阵与投影矩阵

　　如果Q是标准正交矩阵，那么Q在列空间上的投影矩阵将得到简化：

　　更进一步，如果Q是方阵：

　　如果对

　　其中：

　　在求解Ax = b时，如果A是标准正交矩阵，它的好处就是不需要计算逆矩阵：

　　这也意味着

　　这也是很重要的一个式子：如果已知标准正交基，在第

格拉姆-施密特正交化

　　既然正交化这么好，有没有什么方法能使矩阵标准正交化呢？当然有，这就是格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化。

　　假设有两个线性无关的向量a和b，现在标准正交化这两个向量，让它们变成

　　根据上一章的知识，p相当于a放缩了x倍，在一维空间内，x是一个标量：

　　这相当于B是b减去b在a上的投影，B是b和A的线性组合。

　　最后将A变成指向A方向的单位向量，B变成指向B方向的单位向量：

　　这就是格拉姆-施密特正交化方法。

　　如果还有一个向量c，由c到

　　代入几个数值看看：

　　验证：

　　这个标准正交矩阵Q是通过下面的原始矩阵得到的：

　　A的列空间和B的列空间相同，能够张成一个二维空间的平面。a和b是A的列空间的一组基，但这组基“不够好”，我们还想进一步让这组基的向量两两正交，并且都是单位向量，这就得到了q1和q2。

格拉姆-施密特表达

　　如同A = LU一样，A可以分解成一个正交矩阵和一个上三角矩阵的乘积，A = QR，这里A是原始矩阵，各列线性无关，Q是标准正交矩阵，R是上三角矩阵。

　　假设原始矩阵A有三个列向量：

　　按照格拉姆-施密特正交化方法转换后，得到

　　q和a本身也是列向量，得出结果并不那么直观，可以展开表达：

　　由于

　　如果

示例

　　求矩阵A的QR分解。